Dá sa vyhrať v neférovej súťaži?

Autor: dispersus | 30.4.2011 o 12:33 | (upravené 30.4.2011 o 13:20) Karma článku: 9,28 | Prečítané:  3117x

Súťaž pozostáva z niekoľkých kôl; v každom kole získavate bod buď vy alebo váš súper, vy s pravdepodobnosťou p (menej ako ½, teda neférová šanca) a on s pravdepodobnosťou 1-p. Počet kôl musí byť párny - 2, 4, 6, atď. Na výhru v súťaži musíte získať viac než polovicu bodov. Poznáte p, napr. 0,45. Dostanete však malú výhodu a môžete si stanoviť počet kôl. Koľko kôl si zvolíte, aby ste maximalizovali svoje šance na výhru?

 

Nie je nutné nariekať kvôli tomu, že súťaž je neférová. Označme Vás ako hráča A a súpera ako hráča B. V konkrétnej hre, vaše šance na výhru sú p a súperove q=1-p.

Väčšina ľudí po zistení, že hra je neférová, predpokladá, že ak budeme zvyšovať počet hier (N), bude sa zvyšovať aj rozdiel medzi bodmi hráčov (body hráča A - body hráča B) v prospech hráča B a teda hráč A by mal zvoliť minimum počtu hier, teda 2.

Ak by bolo možné zvoliť nepárny počet hier, vyššie uvedený dôvod by viedol k správnej odpovedi: hráč A má zvoliť najmenší možný počet hier a to 1. Ale ak si musíme zvoliť párny počet hier, objavujú sa tu 2 protichodné efekty pri zvyšovaní počtu hier:

1. zvýhodnenie hráča B;

2. prerozdelenie pravdepodobností v strede binomického rozdelenia (pravdepodobnosť remízy)

 


Binomické rozdelenie (Bernoulliho schéma) vyjadruje početnosť sledovaného javu v N nezávislých pokusoch, pri ktorých je pravdepodobnosť úspechu vždy rovnaká.

obr.JPG

 


 

Zvažujme nachvíľu o férovej hre (p=1/2), kde možnosť na výhru je pre oboch hráčov rovnaká. Čím väčšie N, tým väčšie šance na výhru pre hráča A, pravdepodobnosť remízy sa blíži k nule a maximálna šanca na výhru pre hráča A je ½. Pre N=2,4,6, vypočítame pravdepodobnosti výhry podľa vzorca:

1.JPG

kde N je počet pokusov, x je počet výhier, p je pravdepodobnosť výhry v jednom pokuse a q je pravdepodobnosť prehry v jednom pokuse

2.JPG

 

 

 


Na zistenie optimálnej hodnoty N použije normálnu aproximáciu. Nech X je počet bodov hráča X pri počte hier N=2n. Teda, chceme maximalizovať P(X>= n+1). Nech

3.JPG,

kde ½ je obvyklou spojitou korekciou.

Potom ak Z je premenná zo štandardného normálneho rozdelenia, P(Z>z) sa približuje P(X>n). Čím menšie z, tým väčšia P(Z>z), takže chcem nájsť hodnotu n, ktorá minimalizuje Z pri fixnom p < ½.


 

Pravdepodobnosť výhry v prípade počtu hier 2n je sumou pravdepodobností získania  n+1, n+2,..., 2n bodov, teda suma:

 

4.JPG

V hre pozostávajúce z 2n+2 hier, pravdepodobnosť výhry najmenej n+2 bodov a teda aj celej hry je:

5.JPG

K hre pozostávajúcej z 2n hier sme len pridali 2 ďalšie hry. Ak hráč A vyhral n alebo n+1-krát pri počte hier 2n, jeho status ako víťaz alebo porazený sa nebude odlišovať od hry s počtom hier 2n+2 až na 2 možnosti, P2n+2 bude identické ako P2n. Tie sú:

(1) ak hráč A získal n+1 bodov v 2n hrách a ďalších 2 hrách prehrá, teda znižuje svoju pravdepodobnosť výhry pri počte hier 2n+2 o

6.JPG

alebo

(2) ak vyhral n-krát pri počte hier 2n, vyhrá ďalšie 2, teda zvyšuje svoju pravdepodobnosť o

7.JPG

Ak N=2n je optimálny počet, potom obidve

12.JPG

a

11.JPG

musia platiť. Výsledky v predchádzajúcom odseku znamenajú, že tieto nerovnosti sú ekvivalentné  nasledujúcim nerovnostiam:

8.JPG

9.JPG

Po niekoľkých zjednodušeniach je možné tie nerovnosti vyjadriť ako

 

13.JPG

Tieto nerovnosti možno vyjadriť podmienkou:

 

10.JPG

 

Teda pokiaľ 1/(1-2p) je nepárne číslo, N je jedinečne určený ako najbližšie párne číslo k 1/(1-2p). Ak 1/(1-2p) je nepárne číslo, obe priľahlé párne čísla vyjadrujú rovnakú optimálnu pravdepodobnosť. A sme tak dokázali že ak

 

14.JPG

Teda, pre p=0,45, máme 1/(1-0.9)=10 ako optimálny počet kôl, ktoré by mal hráč A zvoliť.

 

Jana_Rusnakova.jpg

Jana Rusnáková

Step Out of Range

Informácie a perličky zo sveta analytiky a vedy  - facebook- klub dispersus



Literatúra:

Mosteller, F.: Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions. NY, Dover publications, 1965. p. 67

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Minúta po minúte: Fico na sneme opäť útočil aj na médiá

Vo funkcii podpredsedov skončia Dušan Čaplovič a Pavol Paška.

DOMOV

Odhalila kauzu predsedníctva. Odkiaľ prišla Zuzana Hlávková?

Gymnázium, ktoré navštevovala, jej plánuje vyjadriť verejnú podporu.

EKONOMIKA

RegioJet skracuje svoje vlaky do Košíc, na prevádzku má málo vozňov

Jazdiť bude len so siedmimi vozňami.


Už ste čítali?