Vyššia matematika pre laikov – Ako vidieť v matematike

Autor: dispersus | 27.12.2011 o 13:37 | (upravené 27.12.2011 o 15:57) Karma článku: 9,81 | Prečítané:  2597x

Schopnosť vidieť v matematike nie je zrejme žiaden zázrak - ale nedovoľuje nám prestať myslieť logicky. Na to, čo vieme, čo chceme vedieť, aké to je a hlavne prečo to tak je. Pamätáte sa na slovné úlohy základnej školy? Otvoríte zadanie a namiesto čísel máte pred sebou tri riadky písaného slova. Tlmočiť jeden jazyk do druhého je jednou z najdôležitejších zručností.

 

Predstavte si nasledovnú situáciu:

Traja kamaráti na výlete pri jazere lovili ryby a neskôr uľahli k spánku. Prvý sa prebudil jeden z nich a chcel si odniesť svoj podiel. Ale počet rýb nebol deliteľný tromi, a preto vypustil jednu z nich späť do vody. Vzal si tretinu zostávajúceho počtu a odišiel. Keď sa prebudil druhý z nich, situácia sa opakovala. Jednu rybu vypustil, vzal si tretinu a odišiel. To isté spravil aj tretí rybár. Koľko rýb ulovili spolu?

Uvažujme najprv len intuitívne. Prvé, čo nám zrejme zíde na um, je, že kamaráti sa napriek dobrému úmyslu nepodelili spravodlivo. Počet rýb, ktorý si každý z nich odniesol nebol rovnaký.  Druhá vec, ktorú si možno všimneme, je tá, že rybári si nerozdelili celý úlovok. Okrem rýb, ktoré vhodili naspäť do jazera, ostalo niekoľko, ktoré si nevzal žiaden z nich. Zdravý sedliacky úsudok nám poskytol isté indície a tušíme, že načrtnutá situácia je tak trocha podivná - človek dvakrát rozumný (a triezvy) by asi konal inak. Ale existujú javy, pri ktorých nás životná, zmyslová skúsenosť nemôže viesť. Je to v rôznych odľahlých svetoch, akými sú vesmír, či fyzika subatomárnych častíc. No patria sem aj javy bežného života, o ktorých nevieme takmer nič.  A tu je našim jediným sprievodcom čistý rozum.

Vráťme sa však k nášmu malému príkladu (pravda, nejedná sa ešte o ozajstnú vyššiu matematiku - tú si zatiaľ necháme na neskôr). Prezradíme, že naše prvotné postrehy boli správne. Vytýčili sme si však vyšší cieľ - chceme porozumieť aj tomu, čo nie je očividné, a hlavne - chceme si osvojiť istú ideu. Matematika je mocný nástroj, ktorý nám dokáže dávať odpovede. Lenže ako na to?

Začnime od toho, čo chceme zistiť - koľko rýb ulovili spolu? To je naša prvá neznáma. Nazvime ju tradične x. Ďalej sa v zadaní píše o počte rýb, ktoré si odniesol každý chlapík a sami sme prišli na to, že okrem toho jestvuje zvyšok, ktorý si nikto nevzal. Tieto počty nepoznáme, a preto by sme mohli pocítiť potrebu vyjadriť ich ako neznáme písmenkami trebárs a, b, c, d. Ale pozrime sa ešte raz poriadne na to, čo sa vraví v našom zadaní. Potrebujeme z neho vyjadriť všetky štyri neznáme? Nie. Prečo nie? Pretože zadanie nás informuje o tom, že existuje vzťah medzi neznámymi hodnotami, ktorý dovoľuje vyjadriť neznáme navzájom medzi sebou. Ak sa nám podarí formulovať tento vzťah, potom nám stačí vyjadriť iba jednu ďalšiu neznámu. Napríklad ostávajúce ryby, ktoré neboli vhodené nazad a zároveň si ich nikto nevzal - nazvime tento zvyšok, opäť tradične, y.

Pokúsme sa teraz vyjadriť vzťah medzi neznámymi, o ktorom sme hovorili. Máme neznáme:

x - počet rýb spolu v pôvodnom úlovku

y - zvyšok rýb, ktoré si nik nevzal, ani neboli vhodené do jazera

Pozrime sa na to, čo sa vlastne dialo a ako sa to dialo. Čítajme ešte raz prvé vety zadania: „Traja kamaráti na výlete pri jazere lovili ryby a neskôr uľahli k spánku. Prvý sa prebudil jeden z nich a chcel si odniesť svoj podiel. Ale počet rýb nebol deliteľný tromi, a preto vypustil jednu z nich späť do vody." Celkový úlovok bol x. Prvý rybár z neho odčítal jednu a vzal si tretinu. Ostali dve tretiny. Zapíšeme to matematickou formuláciou, ktorá sa nazýva výraz:

1.png

Tento výraz, ktorý sme napísali, vyjadruje počet rýb, ktorý ostal potom, ako prvý rybár vykonal, čo vykonal, a odkráčal preč. Čítajme ďalej: „Keď sa prebudil druhý z nich, situácia sa opakovala." Druhý rybár teda spravil to isté - avšak už iba so zvyškom toho, čo ostalo po prvom (pravdaže, nejedná sa o zvyšok y, ktorý sme predtým pomenovali - k tomu sa ešte dostaneme). Zoberme teda aj my náš výraz a spravme s ním presne to isté, čo sme predtým spravili s x:

2.png

To je zvyšok, ktorý ostal po druhom rybárovi. Ale ešte stále nie sme pri y. Prebudil sa tretí rybár:

3.png

To je zvyšok, ktorý ostal po treťom rybárovi - a konečne naša druhá neznáma y. Položme teda rovnosť:

4.png

Takto sme zapísali celý príbeh, ibaže namiesto slov sme použili jazyk matematiky. Ale pretože matematika je dáma, ktorá je vždy elegantná, ešte ju trošku upravíme. Preskupíme rovnicu tak, aby - jednoducho povedané - čísla vystupujúce spolu s písmenkami a čísla bez nich stáli osve. Tomu sa vraví úprava podľa členov:

5.png

Tým je povedané všetko. Náš problém sme formulovali v reči matematiky: Osemnásobok počtu rýb ulovených všetkými tromi rybármi zmenšený o tridsaťosem rýb nám dáva zvyšok úlovku dvadsaťsedem ráz. Možno sa zdá, akoby sme sa vzďaľovali kamsi do Tramtárie a neriešili to, čo nás zaujíma - ale je to presne naopak. Preskupme rovnicu ešte raz tak, aby sme dostali celkový úlovok na jednej strane:

6.png

X je v kladných číslach určite väčšie ako štyri a rastie priamoúmerne podľa násobku y. Nepripomína vám niečo tento útvar? Je to rovnica priamky v rovine. Pozrite:

7a.jpg

Kde červené číslo 25 je jedným z riešení. Skúsme ho dosadiť za neznámu x a dopočítajme ostatné hodnoty:

7.png

Ak celkový úlovok všetkých troch spolu x je 25 rýb, potom zvyšok y, ktorý si nevzal žiadny z nich a zároveň nebol vrátený do jazera, je 6. Neznáme podiely troch rybárov na úlovku sú 8, 5 a 3 ryby. Situácia teda mohla vyzerať takto: Traja kamaráti lovili ryby a neskôr uľahli k spánku. Prvý sa prebudil jeden z nich a chcel si odniesť svoj podiel. Ale počet rýb nebol deliteľný tromi, a preto vypustil jednu z nich späť do vody. Vzal si osem rýb a odišiel. Ostalo šestnásť rýb. Keď sa prebudil druhý z nich, jednu rybu vypustil, vzal si päť a odišiel. Ostalo desať rýb. Napokon posledný jednu rybu vypustil a vzal si tri ryby. Ostalo šesť rýb.

Avšak to je len jedno z riešení, a toto vedomie by nás právom plne neuspokojovalo. Dospeli sme až sem, aby sme sa dopracovali k iba jednému z mnohých variantov, ako sa daná situácia mohla odohrať - pýta sa azda čitateľ. My si však dovolíme odpovedať, nie. Matematika nám dala, ako vždy, niečo cennejšie - myšlienku, ktorú sme sa Vám v tomto článku pokúsili objasniť. Jej autormi sú Diofantos, Euklides a Leonard Euler:

Nájdite taký algebrický útvar, ktorý je geometrickou reprezentáciou daného problému. Zaveďte ho do priestoru a definujte mriežku podľa každej osi v oboroch prirodzených alebo celých čísel. Súradnice bodov mriežky v priestore ležiace na krivke, ploche alebo v telese sú množinou všetkých možných riešení daného problému.

PS: V matematike býva častým zjavom, že študent sa pasuje s akýmsi problémom, ktorý spočiatku presahuje jeho možnosti. No tu a tam sa v nej vyskytne aj jav opačný - že muž, ktorý sám je veľký a úloha preňho príliš prostunká, podá riešenie čímsi originálne, tvorivé a nápadité. Je v tom akási matematická estetika. Takto naše zadanie riešil na škole Paul Dirac, keď povedal, že rybári ulovili -2 ryby. Ale my už, potom, čo sme sa dnes naučili, vieme, ako k tomu prišiel! Skrátka pretiahol priamku na obrázku do zápornej polosi :).

 

Michal_Illovsky.jpg

Michal Illovský

Step Out of Range

Informácie a perličky zo sveta analytiky a vedy  - facebook- klub dispersus

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Minúta po minúte: Fico na sneme opäť útočil aj na médiá

Vo funkcii podpredsedov skončia Dušan Čaplovič a Pavol Paška.

DOMOV

Odhalila kauzu predsedníctva. Odkiaľ prišla Zuzana Hlávková?

Gymnázium, ktoré navštevovala, jej plánuje vyjadriť verejnú podporu.

EKONOMIKA

RegioJet skracuje svoje vlaky do Košíc, na prevádzku má málo vozňov

Jazdiť bude len so siedmimi vozňami.


Už ste čítali?