Vyššia matematika pre laikov - Limity a nekonečno

Autor: dispersus | 2.1.2012 o 16:59 | (upravené 2.1.2012 o 18:33) Karma článku: 12,17 | Prečítané:  4704x

Nekonečno je pojem kdesi na hranici ľudskej predstavivosti. Evokuje v nás čosi neobsiahnuteľné, nemerateľné, neustále trvajúce alebo rozkladajúce sa na stále menšie časti. Starogrécky atóm a apória korytnačky Zenóna z Eley ukazujú, aké ťažké pre človeka bolo uvažovať v kategórii nekonečna. Hoci niektoré jeho vlastnosti sa podarilo využiť pri úlohách kvadratúry v ranom novoveku a ešte viac v diferenciálnom počte v dielach Newtona a Leibnitza, na uchopenie a vtelenie nekonečna do matematiky ľudstvo čakalo až do konca 19. storočia a zaslúžil sa o to najmä Georg Ferdinand Cantor.

Najskôr zo všetkého si ujasnime, ako nekonečno v matematike definujeme. Nekonečno nie je číslo. Je to množstvo väčšie než akékoľvek číslo - pretože akékoľvek číslo je konečné. Analogicky platí, že mínus nekonečno je množstvo menšie než akékoľvek číslo. Je preto opodstatnené dodržiavať pravidlo, že nekonečno, či mínus nekonečno sa do výpočtových príkazov nedosadzuje, lebo dosadzovať môžeme iba číslo, a nekonečno číslom nie je.[i] Hovoríme, že zákonitosť nejakého javu (vyjadrená napríklad postupnosťou alebo funkciou) nie je v nekonečne definovaná, a preto daný jav v ňom nemôže byť v žiadnom stave, ktorý by sa dal vyjadriť nejakou hodnotou - t.j. hodnotou funkcie alebo postupnosti opisujúcej danú zákonitosť.

Ale matematika má nástroj umožňujúci počítanie s nekonečnom, ktorý nám dokáže odpovedať na otázku, aká by bola funkčná hodnota, ak by argument v danom bode definovaný bol (pričom ale nie je). Inak povedané - aké by bolo f(x) pre dané x? Takým nástrojom je limita. A spôsob, akým to dokáže, spočíva v jej schopnosti opísať stav sledovaného javu v tesnom, bezprostrednom okolí onoho nedosiahnuteľného bodu - v schopnosti priblížiť sa k nemu takpovediac nekonečne blízko.

Ukážeme si použitie limity na malom príklade. Zákonitosť, ktorej limitu budeme skúmať, je takzvaná lomená funkcia mnohočlena - o čo ide, vysvitne zo zadania:

Farma pestuje zeleninu  na ohradenom pozemku so štvorcovým pôdorysom a predáva úrodu. Meter plotu stojí dve eurá a polievanie jedného metra štvorcového tiež dve eurá. Úroda jedného štvorcového metra pozemku má trhovú cenu päť eur a hadica na polievanie stojí šestnásť eur. Nájdite úroveň rentability nákladov, ktorá by bola dosiahnuteľná, ak by sa rozloha pozemku zväčšovala bez obmedzenia.

Situáciu, ktorú sme opísali, vyjadruje funkcia, kde rentabilita nákladov je funkčnou hodnotou f(x) v bode x, teda pre danú rozlohu pozemku:

png1.png

Zaujíma nás, k akej hodnote sa blíži f(x), ak sa x blíži k nekonečnu. Uvažujme najprv intuitívne a skúsme doplniť nekonečno do hodnoty argumentu:

png2.png

Zaobchádzame s nekonečnom ako s číslom, ktorého hodnotu síce nepoznáme, ale vynásobené tromi jednako dáva svoj trojnásobok. Lenže nekonečno nie je číslo a úpravy, o ktoré sa pokúšame, sú nedefinované výrazy. Tadiaľto cesta nevedie. Aby sme mohli počítať s nekonečnom, nebudeme sledovať akýsi nekonečný bod, v ktorom nás zaujíma hodnota funkcie, ale jeho okolie. Pričom  toto okolie si predstavíme ako takú vzdialenosť od samotného bodu, ktorá je bližšia než hociktorá blízkosť. Pretože sa približujeme k nekonečnu na kladnej polosi (+∞), teda zľava, bude to jeho ľavostranné okolie. Tento drobný myšlienkový posun od bodu, ktorý nemôžeme dosiahnuť, k jeho okoliu, ktoré dosiahnuť môžeme, má veľký význam, pretože si predstavujeme rozdiel medzi nimi ako ľubovoľne malý. Avšak žiada si to zmenu výpočtového aparátu. Zaveďme teda nástroj limity - nasledovný predpis značí, že na mieste x (pre x→∞) počítame s okolím bodu, ako sme ho opísali:

png3.png

Uvažujme teraz ďalej v smere nášho zadania. S x blížiacim sa k nekonečnu budú členy výrazov obsahujúce premennú (x2, x) rásť nad všetky medze, zatiaľ čo člen bez premennej - takzvaný absolútny člen - ostane konštantný, bezo zmeny, a teda zanedbateľne malý. Zároveň veľkosť každého výrazu pri x→∞ bude najviac ovplyvnená tým svojím členom, ktorý má najväčšieho mocniteľa - pretože ten bude rásť najrýchlejšie. A tým v konečnom dôsledku aj hodnota lomenej funkcie v blízkosti ∞ bude závisieť od vzájomného vzťahu najmocnejších členov výrazu v čitateli a v menovateli zlomku. Pritom platí, že limita súčtu je súčtom limít a limita rozdielu je rozdielom limít. Všimnime si tiež, že aby náš výpočet mal význam, výraz v menovateli lomenej postupnosti (x2) musí byť rôzny od nuly.

Vychádzajúc z predchádzajúcich úvah budeme postupovať takto: Vo výraze v menovateli -(2x2+8x+16) lomenej funkcie nájdeme člen s najväčším mocniteľom (x2) - takzvaný prevládajúci člen. Týmto prevládajúcim členom chceme deliť všetky ostatné členy aj s číslami stojacimi pri nich (koeficientmi), čím dosiahneme, že ich pokles bude taký rýchly, že v okolí ich môžeme pokladať  za zanedbateľne malé. Vydelíme teda obidva výrazy prevládajúcim členom:

png4.png

Rozložíme výrazy na jednotlivé zlomky. Tým bude každý člen aj s koeficientom pri ňom delený prevládajúcim členom:

png5.png

Vykonáme úpravu podľa pravidiel o počítaní s limitami, ktoré sme uviedli na konci našej počiatočnej úvahy o riešení:

png6.png

Všetky limity sú rovné nule pri x→∞. Ostávajú len koeficienty pri členoch s najvyššími mocniteľmi. Ale sú v podobe konštánt, pretože ich členy s mocninou premennej x boli zrušené delením prevládajúcim členom. Limita lomenej postupnosti je teda:

png7.png

A na obrázku je znázornená rovnou čiarou. Rentabilita nákladov f(x) pri neobmedzenom zväčšovaní pozemku sa blíži k 150%.

png8.png

Prípad, s ktorým sme sa oboznámili, patrí medzi jednoduchšie. Nazýva sa vlastnou limitou v nevlastnom bode (lomenej funkcie) - podľa toho, že limitou je hodnota v obore reálnych čísel, zatiaľ čo hodnota argumentu, pre ktorú limitu hľadáme, je mimo oboru reálnych čísel (pozri definíciu na začiatku, ktorá vraví, že nekonečno nie je číslo).  Možno ho použiť všade tam, kde hľadáme hodnotu, ku ktorej sa blíži závislá premenná pri argumente rastúcom do nekonečna a skúmanú závislosť pritom opisuje lomená funkcia s mnohočlenom v čitateli aj menovateli zlomku.

Repertoár limít je, pravdaže, oveľa širší. Predovšetkým sledovaná závislosť nemusí byť vyjadrená lomenou funkciou mnohočlena, ale hocakou inou funkciou. Okrem vlastnej limity v nevlastnom bode s nekonečnom pracujú tiež nevlastná limita vo vlastnom bode a nevlastná limita v nevlastnom bode. Oboznámenie sa s nimi ponechávame na matematicky ambicióznejšieho čitateľa.

 

 

Michal_Illovsky.jpg

Michal Illovský

Step Out of Range

Informácie a perličky zo sveta analytiky a vedy - facebook- klub dispersus


 

[i] MACH, V.: Základy vysokoškolské matematiky, České vzdělávací projekty, Brno 2003

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Minúta po minúte: Fico na sneme opäť útočil aj na médiá

Vo funkcii podpredsedov skončia Dušan Čaplovič a Pavol Paška.

DOMOV

Odhalila kauzu predsedníctva. Odkiaľ prišla Zuzana Hlávková?

Gymnázium, ktoré navštevovala, jej plánuje vyjadriť verejnú podporu.

EKONOMIKA

RegioJet skracuje svoje vlaky do Košíc, na prevádzku má málo vozňov

Jazdiť bude len so siedmimi vozňami.


Už ste čítali?