Vyššia matematika pre laikov - Trigonometria

Autor: dispersus | 24.1.2012 o 12:14 | Karma článku: 8,68 | Prečítané:  2979x

Predstava uhla u najstarších civilizácií Stredného výhodu sa zrejme objavila v spojitosti s úkazom dnes nazývaným pohybová paralaxia. Dochádza k nemu pri priamočiarom pohybe pozorovateľa vedľa rôzne vzdialených predmetov, ktoré sa zdanlivo pohybujú opačným smerom, rôznymi rýchlosťami a pritom sa vzájomne prekrývajú. Základy vedy, vysvetľujúcej javy tejto povahy, pochádzajú od starogréckych učencov Archimeda, Euklida a Hipparcha. Pomenovanie trigonometria odvodzujeme od slovného spojenia tria gona „tri uhly" a slova metron „miera". Kompozitum trigono-metria teda znamenalo: meranie troch uhlov.

Skúmajme nasledovnú situáciu:

Delo strieľa proti homogénnej pancierovej platni hrubej 60 milimetrov podkalibrový projektil ráže 37 milimetrov schopný prekonať dvojnásobok svojej ráže pri kolmom zásahu. Nájdite najväčší uhol účinného zásahu.

Použime najskôr sedliacky rozum. Krátka prechádzka okolo platne nás presvedčí o tom, že spomedzi všetkých uhlov nás budú zaujímať iba tie, ktoré spadajú do intervalu 0 až 90 stupňov, pretože všetky ostatné možno do tohto intervalu previesť. Nezáleží na tom, z ktorej strany platne stojíme. Ďalej našu intuíciu zrejme upútajú dva krajné prípady. Kolmý zásah (0 stupňov) s najvyšším účinkom - ľahko spočítame, že 2*37 = 74 > 60 - a prípad dráhy strely rovnobežnej s rovinou platne, ktorý intuitívne pokladáme za protiklad predchádzajúcej situácie. Posiaľ hádame správne, avšak zákonitosť týchto javov nám zatiaľ nie je známa. Aby sme si poradili s naším zadaním, potrebujeme poznať, ako sa tento systém správa na celom svojom obore definície  - teda v každej situácii, ktorá vôbec môže nastať. A pretože skúmaná zákonitosť vyplýva, ako uvidíme, zo vzťahov panujúcich vo vnútri pravouhlého trojuholníka, nazývame ju trigonometrická.

Zaveďme teda predstavu trojuholníka. Postavme sa v myšlienkach k stene miestnosti pravým bokom a dívajme sa rovno pred seba. Os nášho tela odzadu dopredu je dráha projektilu. Stena na našej pravej strane a polrovina za ňou nech je platňa neobmedzenej hrúbky. Nachádzame sa priamo v mieste zásahu. Parameter ráže (v našom príklade uvažujeme iba s týmto jedným), priamoúmerne ovplyvňujúci silu, ktorú projektil môže vyvinúť pri dopade, je konečná veličina, a preto výsledná sila, pôsobiaca zatiaľ v smere našej pozdĺžnej osi, má tvar úsečky. Nazvime ju c.

Upažme v mysli pravú ruku a držme ju v tejto polohe počas trvania celého pokusu. Rameno sily, ktorá prebíja pancier, je kolmé na platňu bez ohľadu na uhol dopadu projektilu. Táto sila, označme ju úsečkou a, nemôže byť väčšia než tá, ktorú už máme k dispozícii: a ≤ c. Máme teda dve úsečky, z ktorých jedna má konštantnú dĺžku a premenlivý smer pôsobenia, a druhá má stále rovnaký smer, ale premenlivú dĺžku. Predstavme si ešte tretiu úsečku b, ktorá spája dve predchádzajúce na ich vzdialenejších koncoch od bodu, kde stojíme. Táto bude vždy rovnobežná s platňou.

Siahnime teraz ľavou rukou, ktorú máme posiaľ voľnú, za seba a uchopme pomyselnú pozdĺžnu os prechádzajúcu naším telom. Otáčajme ňou za chrbtom pomaly vľavo ako veslom v istom uhle, nazvime ho uhlom alfa - a sledujme, ako sa tri úsečky, o ktorých sme hovorili, pohybujú v polrovine vpravo od nás. Úsečka c, ležiaca na osi, má konštantnú veľkosť, a preto sa pohybuje po kružnici s polomerom c a osou otáčania v bode, kde stojíme. Úsečka je naproti tomu orientovaná stále rovnako kolmo na platňu - hovoríme, že s ňou zviera takzvaný pravý uhol. Pretože úsečka b spája koncové body úsečiek a a c v polrovine a zároveň je rovnobežná s platňou, každý uhol, v ktorom úsečku c orientujeme v polrovine, musí byť vhodne doplnený práve jednou takou dĺžkou úsečky a, aby predchádzajúce platilo. Hovoríme, že veľkosť úsečky a je trigonometrickou funkciou uhla alfa, ktorú voláme kosínus - podiel veľkosti úsečky a,  na veľkosti c pri uhle alfa zvieranom oboma úsečkami. Dostávame tak pravouhlý trojuholník, kde vzhľadom na naše postavenie v ňom, úsečka a je priľahlou stranou trojuholníka a úsečka c jeho preponou:

Cos(alfa) = a / c

VMpL_Trig1a.jpg

Všimnite si, že s ďalším otáčaním úsečky c za kolmicu platne - do pravého dolného kvadrantu kruhu - veľkosť úsečky a, a teda aj kosínus alfa už nenadobúda nové hodnoty, ale opäť tie, ktoré už boli predtým dosiahnuté. Ako sme predpokladali nazačiatku, nezáleží na tom z ktorej strany strieľame. Pri pretočení úsečky až do kvadrantov v ľavej polrovine dosiahneme dokonca záporné hodnoty kosínu. Ale to znamená iba, že sila, ktorú sme uložili pri výstrele projektilu pôsobí opačným smerom - skrátka strieľame spoza platne. Všimnite si tiež, že veľkosť a v závislosti od alfa sa nemení priamoúmerne, ako sme to mohli intuitívne predpokladať, keď sme na začiatku spojili domnelé minimum (90 stupňov) a maximum (0 stupňov) najkratšou cestou. Cirkalineárna závislosť sa uplatňuje iba na začiatku otáčania, kedy kolmica na platňu a kružnica sú približne rovnobežné. Ale čoskoro o rovnobežnosti nemožno vôbec hovoriť, kružnica sa v polrovine rýchle zakrivuje. Graf ukazuje priebeh funkcie kosínus pri streľbe zľava doprava:

Trig_1c.jpg

Vidíme, že penetrácia projektilu dosahuje polovicou maxima už pri uhle dopadu 60 stupňov - to je dosť šikmý zásah. A súčasne niečo, čo by sme na základe zmyslovej skúsenosti sotva predpokladali. Ale čistý rozum v matematike, presnejšie povedané naša geometrická predstavivosť, nás priviedla k myšlienkovej abstrakcii - univerzálnej zákonitosti riadiacej celú skupinu príbuzných javov, ktorú sme hľadali.

Je preto vhodný čas na to, aby sme sa vrátili k riešeniu nášho príkladu. Na začiatku bolo povedané, že účinok X pri zásahu platne závisí od ráže projektilu R a neskôr sme si uvedomili, že závisí tiež od penetrácie P, ktorá je funkciou uhla dopadu alfa. Zapíšme to teda matematicky:

X : f(R;P)

Bolo povedané, že účinok zásahu podkalibrového projektilu je dvojnásobok jeho ráže pri kolmom zásahu a vieme už, že jeho penetrácia je kosínus uhla dopadu. Pretože ráž je v našom príklade konštantou a uhol zásahu premennou, účinok zásahu x bude p-násobok ráže 2r pri danom uhle dopadu:

x = 2r*p

A napokon vieme, že pancierová platňa je hrubá 60mm. K jej prerazeniu dôjde, ak x bude väčšie než hrúbka platne. Riešime teda nerovnicu v tvare:

74*Cos(alfa) ≥ 60

Potrebujeme ju však upraviť do takej podoby, aby neznáma premenná alfa stála samostatne na jednej strane nerovnosti. A preto ju musíme najprv vedieť vyňať z funkcie, ktorou je zatiaľ vyjadrená. Na to musíme zaviesť novú funkciu - v skutočnosti však iba transformáciu funkcie kosínu, ktorú už poznáme, - a tou je arkus kosínus.

Odvodzovaním funkcie arkus kosínus z funkcie kosínu tu vynecháme, pretože si to vyžaduje istú vedomosť, ktorú teraz nechceme rozvádzať. Vzťah medzi oboma však pochopíme, keď sa vrátime k našim predstavám o trojuholníku a kruhu. Pri funkcii kosínu sme otáčali úsečku c po kružnici a merali sme veľkosť úsečky a na kolmici, ktorá je tým pohybom jednoznačne určená. Pri funkcii arkus kosínus postupujeme presne opačne. Pohybujeme sa po oblúku kružnice (arkus po latinsky je oblúk) a pýtame sa, aká časť kolmice ešte leží pred nami. Opäť nás zaujíma iba pravý horný kvadrant kruhu (viď. obrázok).  Ak by sme aj po oblúku vykročili opačným smerom, úsečka na kolmici by sa presunula sprava doľava, ale jej veľkosť a tiež veľkosť jej doplnku na kolmici, by sa menili rovnako, ibaže s opačnou orientáciou.

VMpL_Trig1b.jpg

Upravíme teda nerovnicu s neznámym uhlom dopadu na jednej strane:

Cos(alfa) ≥ 60/74

A vyjadríme ho v zmysle našej predchádzajúcej úvahy. Máme pri tom na pamäti, že uhol alfa je v ľavom hornom kvadrante kružnice, na ktorý sme sa obmedzili, záporný, pretože hovorí o tom, koľko stupňov nám takpovediac chýba ku kolmici (viď. obrázok). Dostávame riešenie pre pravý horný kvadrant kružnice, ktoré rozšírime pre obidva smery otáčania:

alfa ≥ -ArcCos(60/74)

-35°50' ≤ alfa ≤ 35°50'

Najväčší uhol od kolmice pre účinný zásah je 35 stupňov 50 minút.

 

Michal_Illovsky.jpg

Michal Illovský

Step Out of Range

Informácie a perličky zo sveta analytiky a vedy - facebook- klub dispersus

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Minúta po minúte: Fico na sneme opäť útočil aj na médiá

Vo funkcii podpredsedov skončia Dušan Čaplovič a Pavol Paška.

DOMOV

Odhalila kauzu predsedníctva. Odkiaľ prišla Zuzana Hlávková?

Gymnázium, ktoré navštevovala, jej plánuje vyjadriť verejnú podporu.

EKONOMIKA

RegioJet skracuje svoje vlaky do Košíc, na prevádzku má málo vozňov

Jazdiť bude len so siedmimi vozňami.


Už ste čítali?