Vyššia matematika pre laikov - Peniaze a Eulerovo číslo

Autor: dispersus | 3.2.2012 o 16:16 | (upravené 3.2.2012 o 18:25) Karma článku: 11,59 | Prečítané:  4366x

S čarovným pomerom obvodu akéhokoľvek kruhu a jeho priemeru, teda Ludolfovým číslom π a hodnotou 3,14... je oboznámené dosť veľké množstvo ľudí. Dokonca i tí, ktorí o matematiku veľký záujem neprejavujú a sú už dlhšie mimo školy.  Jeho dôležitosť si ľudstvo uvedomilo už 2000 rokov predtým ako v Betlehemských jasličkách zakričal náš letopočet. Táto prastará konštanta sa stala Pontifikom Maximom všetkých konštánt a našla uplatnenie hlavne v trigonometrií (oblasti, ktorá sa zaoberá „meraním trojuholníkov" a modeluje všetky periodicky opakujúce sa úkazy „točiace sa v kruhu"). Určite si spomínate na sínus, kosínus, atď. - funkcie, ktoré rozoberal Michal v minulom článku. Avšak existuje ešte iná konštanta, veľmi rozšírená v mnohých oblastiach matematickej analýzy (oblasti funkcií,  postupností, limít, derivácií, integrálov), ktorá si po práve zasluhuje minimálne rovnako veľkú pozornosť. A tou je Jeho Svätosť Dalajláma -  iracionálne číslo e = 2,718....

 

V porovnaní s praotcom π je e svižným príbuzným mladším o 1900 rokov. Eulerovo číslo - prezývka, ktorú toto superčíslo získalo, je podľa priezviska švajčiarskeho matematika Leonharda Eulera (1707-1783), napriek faktu,  že nie je jeho „objaviteľom". Táto zásluha sa prisudzuje Angličanovi Johnovi Napierovi (1550-1617), ktorý sa ho dotkol v súvislosti s logaritmami. Preto sa niekedy e označuje aj ako „Napierova konštanta". Číslo muselo vyčkať ešte nejaké to storočie na iné mozgy, ktoré boli schopné jeho vlastnosti náležite oceniť. A tými boli:

  1. Leonhard Euler napr. svojím dôkazom iracionality z roku 1737 demonštroval, že e nie je možné vyjadriť ako zlomok bezo zvyšku.
  2. Po ňom vzbudilo „éčko" rozruch v roku 1840, keď Joseph Liouville ukázal, že nemôže byť koreňom žiadnej kvadratickej rovnice.
  3. A v roku 1873 triumfoval Charles Hermite, keď rozšíril predchádzajúci poznatok o dôkaz, že e nie je koreňom žiadnej algebrickej rovnice - teda kvadratickej, ani vyššieho stupňa.

Označenie e sa prvý krát vyskytlo v liste Leonharda Eulera ďalšiemu matematickému géniovi Christianovi Goldbachovi v roku 1731.

Otázka, ktorá vás možno napadla - je písmenko e podľa Eulera? Nazval číslo sám podľa seba?

Vysvetlenie je asi také, že Euler mal na mysli pod písmenkom e buď slovo exponenciálny" alebo druhé vysvetlenie, že v predchádzajúcich matematických prácach používal písmenko ae bolo logicky nasledujúcou voľbou. Éčko sa objaví všade, kde sa hovorí o „raste".

Ale poďme už na nejaký príklad:

 

Time is money

V roku 1683 sa člen jednej významnej švajčiarskej dynastie matematikov - Jacob Bernoulli - začal zaoberať problémom zloženého úroku.

Máte ako investor našetrených 1 000 000 Eur (Kiežby :)). Chcete ich vložiť na rok do banky, ale všetky banky ponúkajú rovnaký úrok 4 % ročne (0,04).

Takže na konci roka by sme mali mať našetrené

1 000 000 + (0,04)*(1 000 000) = 1 040 000 Eur

To, v čom sa banky odlišujú, sú zložité a nie vždy zrozumiteľné zmluvné a obchodné podmienky, ktoré nám okrem iného hovoria, za aké obdobie a ako často nám pripisujú úroky - hovoríme tomu vo finančnej matematike frekvencia úročenia.

Dajme tomu, že máme tri banky:

AAA ; BBB ; CCC

 

Banka AAA

Táto banka nám pripisuje úroky štvrťročne. Teda výpočet bude vyzerať nasledovne:

1.štrťrok: 1 000 000 + (0,04/4)*(1 000 000) = 1 010 000. (Zvýraznená 4 nám hovorí, že úrok delíme číslom 4, pretože AAA pripisuje úroky štvrťročne)

2.štrťrok: 1 010 000 + (0,04/4)*( 1 010 000) = 1 020 100

3.štrťrok: 1 020 100 + (0,04/4)*( 1 020 100) = 1 030 301

Koniec roka: 1 030 301 + (0,04/4)*(1 030 301) = 1 040 604,01

 

Takže sumárne sme zarobili 40 604,01 Eura, čo je približne 4,06 % z investovanej sumy.

 

Banka BBB

Banka BBB pripisuje mesačne.

1.mesiac: 1 000 000 + (0,04/12)*(1 000 000) 1 003 333,33

2. mesiac: 1 003 333,33 + (0,04/12)*( 1 003 333,33)   1 006 677,77.

3.mesiac: 1 006 677,77 + (0,04/12)*( 1 006 677,77) 1 010 033.36

...

Koniec roka: 1 037 283, 93 + (0,04/12)*( 1 037 283, 93) = 1 040 741,54

Sumárne sme získali 40 741,54 Eura, čo je približne 4,074 % z investovanej sumy.

 

Banka CCC

Banka CCC má toto úročenie ešte častejšie. Dajme tomu každý týždeň. Vezmime si,  že rok  2012 má  52. týždňov.

1.týždeň: 1 000 000 + (0,04/52)*(1 000 000) 1 000 769,23

2.týždeň: 1 000 769,23 + (0,04/52)*( 1 000 769,23) 1 001 539,05

...

Koniec roka: 1 039 994,77 + (0,04/52)*( 1 039 994,77) 1 040 794,77

Na konci roka máme zisk 40 794,77 Eura (približne 4,079 % z investovanej sumy). Teda opäť o niečo viacej, ako to bolo v prípade mesačného úročenia.

 

Banka AAA: Výnos 40 604,61 Eura pri štvrťročnom úročení

Banka BBB: Výnos 40 741,54 Eura pri mesačnom úročení

Banka CCC: Výnos 40 794,77 Eura pri týždennom úročení

 

Otázka znie: Ak budeme úročiť čoraz častejšie, bude náš výnos rásť donekonečna a staneme sa milionármi?

Skúsme to.

Zvoľme si nejakú premennú  N, ktorá bude predstavovať počet úročení ročne.

 

  1. Úročenie 1 000 000 + (0,04/N)*(1 000 000) = 1 000 000*(1 + 0.04/N) .
  2. Úročenie 1 000 000 *(1 + .04/N) + (0,04/N)*(1 000 000*(1 + 0,04/N)) = 1 000 000*(1 + 0,04/N)*(1+ 0,04/N) = 1 000 000*(1 + 0,04/N)2
  3. Úročenie 1 000 000 *(1 + 0,04/N)2 + (0,04/N)*(1 000 000*(1 + 0,04/N)2) = 1 000 000 *(1 + 0,04/N)2*(1+ 0,04/N) =  1 000 000 *(1 + .04/N)3
  4. ....

Koniec roka: 1 000 000*(1 + .04/N)N teda

1o.png

Čo ak si za N dosadíme dni (N=365)  =>  Na konci máme približne 1 040 808,49.

Čo ak si za N dosadíme hodiny (N=8760) => Na konci máme približne 1 040810,68.

Čo ak si za N dosadíme minuty (N=525 600) => Na konci máme približne 1 040 810,7726.

Čo ak si za N dosadíme sekundy (N=31 536 000) => Na konci máme približne 1 040 810,7742.

 

Obdobie

Zisk

Rok

40 000,0000

Polrok

40 400,0000

Štvrťrok

40 604,0100

Mesiac

40 741,5429

Týždeň

40 794,7700

Deň

40 808,4931

Hodina

40 810,6791

Minuta

40 810,7726

Sekunda

40 810,7741


Vyššie N už skúšať nemá zmysel. Bude to totiž v podstate rovnaké číslo. Meniť sa budú desatinné čísielka v rozvoji na takých vzdialených desatinných miestach, až to prakticky znamená, že sa  bavíme stále o tom istom čísle. Napriek  tomu toto číslo, bude so zväčšujúcim sa N, neustále rásť.  Ale čo ak by sme chceli za to N dosadiť nekonečno?! A hlavne, čo to má s e? Odpoveď znie, toto:

1 000 000*e0.04= 1 040 810, 774192388...

Toto je totiž tá budúca hodnota vkladu, ktorú pri 4 % úroku pre dané obdobie úročenia nikdy neprekročíme!!!

Všeobecne, teda pre akýkoľvek úrok r, platí, že  pri N približujúcom sa k nekonečnu, hodnota zloženého úročenia, ktorú nikdy neprekročíme, je éčko umocnené na daný úrok. Hovoríme teda, že éčko umocnené na daný úrok r je limitou postupnosti, kde počet časových období, kedy banka pripisuje úrok, rastie do nekonečna (N=>).

2o.png

Ešte raz to zopakujem. Pri neustálom skracovaní náš výnos síce bude rásť do nekonečna, ale to nekonečno bude vyjadrené nárastom iba v desatinnom rozvoji na neustále vzdialenejších desatinných miestach - jeho nedosiahnuteľný strop bude tvoriť nekonečný rozvoj čísla er. Krásne, nie?

 

Prirodzený základ

Skúsme niečo iné.

Tento príklad nám môže poskytnúť vysvetlenie, prečo sme sa o základe e učili ako o „prirodzenom". Príklady a grafiku som si požičal od súčasného developera softvéru Matlab, Williama Muellera:

Máme funkcie

y = f(x) = 2x a y = g(x) = 3x

 

1.png

Input" na horizontálnej osi je naše x a „Output value" je naše  f(x) alebo g(x).

Vidíme, že čím väčší základ (3>2), tým rýchlejší je rast g(x) = 3x oproti  f(x) = 2x .

Zaujímavé zistenie dostaneme, ak sa pozrieme na priemerné tempo rastu týchto dvoch funkcií. Chceme zistiť, ako v priemere narástla funkcia na zvolenom úseku.

V prvom rade začneme zistením, o akú  hodnotu sa zmení y, pri zmene x o nejaký prírastok. Budeme meniť (posúvať) x vždy o konštantnú dĺžku  0,2. Teda Δx = 0,2 (grécke písmenko Δ (Delta) sa používa na označenie zmeny).

Začneme pri x = -2 a skončíme pri x = 2.  Ukážkový výpočet aplikujeme na funkciu  f(x)=2x .

Teda 

f(-2) = 2(-2) = 0,2500

f(-1,8) = 2(-1,8) = 0,2872       Δx = 0,2       Δy1 = f(-1,8) - f(-2) = 0,2872 - 0,2500 = 0,0372

f(-1,6) = 2(-1,6) = 0,3299       Δx = 0,2       Δy2 = f(-1,6) - f(-1,8)0,3299 - 0,2872 0,0427

f(-1,4) = 2(-1,4) = 0,3789       Δx = 0,2       Δy3 f(-1,4) -  f(-1,6) 0,3789 - 0,32990,0490

....

Priemerné tempo rastu získame, ak prírastok, o ktorý sa zmenila (posunula) funkcia  y = f(x) a y = g(x) od posledného merania, vydelíme hodnotou Δx = 0.2; teda Δy/Δx.

Δy1/Δx = 0,0372 / 0,2 = 0,186 ≐ 0,19

Δy2/Δx =0,0427 / 0,2 = 0,214 ≐ 0,21

Δy3/Δx =0,0490 / 0,2 = 0,245 ≐ 0,25

2.png

Z tabuľky vidíme, že pri funkcií f sú priemerné hodnoty tempa rastu vždy respektíve POD hodnotami samotnej funkcie  f .  Naopak pri funkcií g sú tieto hodnoty NAD hodnotami samotnej funkcie g.

Aby to bolo ilustratívnejšie vložíme hodnoty do grafu.

3.png

Vidíme, že základ 2 je málo a 3 je už veľa, i keď trojka je bližšie stavu, keď hodnoty tempa rastu sú identické s hodnotami funkcie. Stále je to však priemerné tempo rastu, ktoré reprezentuje priemernú  zmenu v danom  úseku. Otázka znie: Existuje nejaký číselný základ, pre ktorý sú hodnoty tempa rastu identické s hodnotami exponenciálnej funkcie v ktoromkoľvek bode?  Alebo inak povedané: existuje nejaké číslo, ktoré pri umocňovaní na x (1,2,3,...) pre každú hodnotu x dáva podiel prírastkov argumentu x a jeho funkčnej hodnoty f(x) rovnaký, ako je samotná funkčná hodnota f(x)? Už sme skoro tam. Odpoveď máme na jazyku. Len nám tam niečo nesedí. Predtým sme robili posuny nejakej absolútnej veľkosti (Δx = 0,2). Teraz sa však pýtame na bod a tam sa nemáme kam posunúť, sme na jednom mieste, nie?

Správne. Do tohto momentu sme sledovali zmenu y (Δy) vzhľadom na konštantný posun x (Δx = 0,2). My sa ale teraz zameriame na zmeny (prírastky) menšie ako 0,2.  Povedzme NULA. „Nula?" neveriacky sa poškriabe čitateľ vo vlasoch.  „Veď to žiadna zmena nie je!" oponuje.

Minule nám v článku o limitách Michal načrtol, ako možno prísť pomocou tohto nástroja matematickej analýzy až do nekonečna, i keď samotné nekonečno ostáva nedosiahnuteľné.  A teraz vykonáme niečo celkom podobné, ibaže v obrátenom garde. Budeme sledovať zmenu, ktorá viditeľne nebude existovať, a predsa sa s ňou bude dať rozumne počítať. Ak budeme neustále zmenšovať prírastky ľubovoľne blízko k nule, bude to ako keby sme ich robili rovné nule.

Oka. Tvárime sa spokojne, že robíme zmeny schizofrenicky sa blížiace k nule (napoviem, že sa jedná o derivovanie, ale to je na iný dlhší príbeh) a sledujeme pritom, ako sa zmení hodnota funkcie.

Keďže s limitou sme sa stretli minule, dnes ju môžeme spokojne nasadiť.

Hľadáme teda limitu, pre výraz Δy/ vx, pričom naše  Δx sa blíži k nule

3o.png

A teraz sa spýtajme ešte raz. Existuje nejaký číselný základ, pre ktorý sú hodnoty tempa rastu identické s hodnotami exponenciálnej funkcie v ktoromkoľvek bode?

Tadáááá. Sme tam. Ten číselný základ je e a hovoríme o exponenciálnej funkcii ex.

 

Trochu sme sa zapotili, ale ten výhľad  stál za to. Preto si dáme trocha odľahčený ďalší príklad „prirodzenosti" e.

Hyperbolický kosínus (označenie cosh) je príkladom matiky v praxi. Hovorí sa mu  reťazovka, pretože tento tvar má visiaca retiazka (presnejšie povedané homogénne, dokonale pevné a ohybné vlákno, ktoré je na svojich  koncoch zavesené v homogénnom gravitačnom poli; zdroj: Wiki).

Funkcia reťazovky je nasledovná:

4o.png

4.png 5.png

Číslo e sa však nelimituje len na oblasť finančníctva ale používa sa napr. aj v spojitosti s krivkami, ktoré modelujú rádioaktívny rozpad. Baviac číslo e nefiguruje len tam, kde sa jedná o „rast" ale má významné postavenie v teórií pravdepodobnosti pri Poissonovom, či normálom rozdelení (slávnej Gaussovej krivke v tvare zvonu).

No a našu púť zakončíme peknou tabuľkou z wikipédie, ktorá nám hovorí, koľko čísel z desatinného rozvoja e už poznáme.

Rok

Známy počet čísel v desatinnom rozvoji

Výpočet uskutočnil

1748

23

Leonhard Euler

1853

137

William Shanks

1871

205

William Shanks

1884

346

J. Marcus Boorman

1949

2010

John von Neumann (na očítači ENIAC)

1961

100265

Daniel Shanks and John Wrench

1978

116000

Stephen Gary Wozniak (na Apple II)

1994

1,000,000

Robert Nemiroff & Jerry Bonnell

1999

1,250,000,000

Xavier Gourdon

2000

3,221,225,472

Colin Martin & Xavier Gourdon

2003

50,100,000,000

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

2007

100,000,000,000

Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

2009

200,000,000,000

Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

2010

1,000,000,000,000

Shigeru Kondo & Alexander J. Yee

 

LukasPastorek.jpg

 

Lukáš Pastorek

Step Out of Range

Informácie a perličky zo sveta analytiky a vedy  - facebook- klub dispersus


 

Literatúra:

Tony Crilly : Matematika: 50 myšlenek, které musíte znát. Slovart, 2010, str. 24-27

Williama Mueller: The number e, Dostupné z http://www.wmueller.com/precalculus/e/e0.html

Wikipedia, e (mathematical constant) Dostupné z http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Minúta po minúte: Fico na sneme opäť útočil aj na médiá

Vo funkcii podpredsedov skončia Dušan Čaplovič a Pavol Paška.

DOMOV

Odhalila kauzu predsedníctva. Odkiaľ prišla Zuzana Hlávková?

Gymnázium, ktoré navštevovala, jej plánuje vyjadriť verejnú podporu.

EKONOMIKA

RegioJet skracuje svoje vlaky do Košíc, na prevádzku má málo vozňov

Jazdiť bude len so siedmimi vozňami.


Už ste čítali?