Vyššia matematika pre laikov - Logika

Autor: dispersus | 9.2.2012 o 19:45 | (upravené 9.2.2012 o 19:55) Karma článku: 7,47 | Prečítané:  2771x

Uvažovať znamená spájať jednotlivé myšlienky do vyšších celkov a z nich vyvodzovať správne závery. Už v staroveku sa vzdelaní muži antického sveta snažili odvodiť všeobecné zákonitosti. Vyvrcholenie úsilia niekoľkých generácií sa napokon objavilo v diele starogréckeho filozofa Aristotela a jeho nasledovníkov. Podarilo sa im nič menšie, než formulovať zákonitosti správneho myslenia. A to v podobe, ktorá bez väčšej zmeny ostala v platnosti ďalších vyše dvetisíc rokov vo filozofií, v práve aj v teológií.

Pojem

Najmenším stavebným prvkom logiky je pojem - ktorý odráža podstatný znak nejakej objektívnej skutočnosti. Napríklad „syr". Alebo „písať", alebo „zelený". Môžeme ich označovať veľkými písmenami, trebárs P, R. Každý pojem môžeme vymedziť tým, čo nazývame jeho (logickým) obsahom a (logickým) rozsahom. Obsahom pojmu sú všetky jeho podstatné znaky - teda odpovedá na otázku: aké je P. Logický rozsah pojmu zahŕňa všetky predmety alebo javy, ktorým sú tieto podstatné znaky vlastné - teda odpovedá na otázku: čo všetko je P.  Všimnite si, že logický obsah nejakého pojmu musí byť tým menší, čím je jeho rozsah väčší, a naopak. Napríklad pojmy „hlina" a „hnedozem" alebo „živočích" a „stonožka". V matematike hovoríme, že obsah pojmu je prevrátenou hodnotou jeho rozsahu:

Obsah(P) = 1/Rozsah(P)

Všetky vzťahy medzi pojmami sa odvodzujú od troch základných pilierov, ktoré nazývame axiómy:

Zákon totožnosti: P je P

Zákon sporu: P nie je nie P

Zákon vylúčenia tretieho: P je R alebo P nie je R

Tento posledný z nich, po latinsky hovoríme tertium non datur, nie je taký samozrejmý ako prvé dva, aj keď sa zdá. V bežnom živote sa často už takto skoro dopúšťame zásadnej chyby, ktorá zhatí alebo neskôr zruinuje naše predstavy. Nemáme totiž jasno v tom, či akési P práve je nejakým R alebo naopak ním nie je: je kamaláska láska alebo nie láska? Ak je nejaká úvaha rozvetvená, zložitá, vylúčení tretích možností je mnoho. Ale musia byť vykonané všetky, keď sa v nej chceme pohnúť ďalej. Inak by neviedla k ničomu alebo by bola prosto nesprávna.

Súd

Logickým vzťahom medzi pojmami je súd, nazývaný aj výrok. Je to každá oznamovacia veta, o ktorej má zmysel vravieť, či je pravdivá alebo nepravdivá. Najjednoduchším súdom je takzvaný atomický súd. Keďže základy logiky sa ponášajú na základy vetnej skladby jazyka, ktorá sa vyučuje na všetkých základných školách, môžeme povedať, že atomický súd je vlastne holou vetou. Teda spojením najmenšieho počtu pojmov (dva) do najmenšieho počtu vzťahov medzi nimi (jeden). Napríklad:

„Strom je drevený."

Veta, o ktorej má zmysel tvrdiť, že je pravdivá, vznikla ustanovením vzťahu medzi pojmami strom a drevený, z ktorých každý má svoj logický obsah a rozsah, a spolu vytvárajú novú kvalitu - súd. Sledujme, čo sa stane, ak si pojmy vo vete vymenia miesto:

„Drevený je strom."

Sú jazyky, ktoré vyjadrujú rovnakú myšlienku práve takto. My však cítime, že s výrokom sa stalo čosi závažnejšie. Zmenil sa vzťah medzi pojmami. Teraz totiž hovoríme:

„To, čo je drevené, je stromom."

A to je čosi iné, než sme vraveli predtým. Pravdivosť tohto súdu je nezávislá na pravdivosti predchádzajúceho. To vidí každý - ale prečo je to tak? Vráťme sa k tomu, čo sme si hovorili o obsahu a rozsahu pojmov. Okrem vetnej skladby existuje ešte druhá školácka náuka, ktorá dopĺňa tú prvú, tam kde je to treba, a učí deti logickému mysleniu (hoci samotná logika sa ako predmet na školách nevyučuje). Je to teória množín. Predstavte si teda logické rozsahy pojmov strom a drevený ako množinové bublinky P a R. Prvý súd znamená, že P je vnútri R - teda P je podmnožinou R - pretože každý strom je vždy drevený a neexistuje ani jeden, ktorý by nebol. Naproti tomu druhý súd znamená, že R je podmnožinou P, inak povedané všetko drevené je stromom. Ale vieme, že existuje niečo drevené, čo stromom nie je, a preto druhý súd nemusí byť pravdivý, aj keď prvý určite je. Vidíme teda, že súdy nie sú totožné.

Tieto a podobné úvahy priviedli Aristotela a jeho žiakov k rozdeleniu súdov na dvakrát dva základné druhy. A to po prvé podľa vzťahov medzi logickými obsahmi - na kladné, ktoré tvrdia, a záporné, ktoré popierajú, a po druhé podľa vzťahov medzi logickými rozsahmi - na všeobecné, hovoríme im aj generické, a čiastočné, teda existenčné:

•1)      Všeobecné kladné - označujeme A podľa latinského affirmo. Znejú: „Všetky P sú R" (ale patria sem aj prosté výroky „P je R"). V matematike môžeme povedať to isté aj tak, že P je distributívne, teda zahrnuté v našej výpovedi v celom svojom rozsahu, a R nie je distributívne. Nasledujúci zápis čítame: „P je podmnožinou R,"

Log6.png

•2)      Čiastočné kladné - označujeme ich podľa druhej samohlásky v affirmo. Znejú: „Niektoré P sú R," alebo aj „Aspoň jedno P je R." Ani P ani R nie je distributívne. Nasledujúci zápis čítame: „Prienik množín P a R je neprázdna množina,"

Log2.png

•3)      Všeobecné záporné - označujeme E podľa prvej samohlásky latinského nego. Znejú: „Žiadne P nie je R" a znamenajú: P a R sú vzájomné nezlučiteľné. P aj R sú distributívne. Nasledujúci zápis čítame: „Prienik P a R je prázdna množina,"

Log3.png

•4)      Čiastočné záporné - označujeme O podľa druhej samohlásky v nego. Znejú: „Niektoré P nie sú R." P nie je distributívne, a R je. Nasledujúci zápis čítame: „R je vlastnou podmnožinou P,"

Log7.png

 Všimnite si, v čom sa odlišuje všeobecný kladný súd od čiastočného záporného. V prvom prípade sme hovorili o P podmnožine množiny R, čo znamenalo, že každý prvok množiny P je súčasne prvkom množiny R. V  poslednom prípade je reč o  R podmnožine k P s prívlastkom vlastná. Vlastná podmnožina R množiny P znamená, že každý prvok množiny R je súčasne prvkom množiny P, ale pritom existuje aspoň jeden prvok množiny P, ktorý nie je elementom R.

Z hľadiska informačnej hodnoty výpovedí ľudí okolo nás, najviac sa dozvedáme zo všeobecného záporu - teda z viet obsahujúcich predložky, príslovky a častice „nikdy, nie, bez,..." a podobne (ktoré majú často medzi ľuďmi aj citový náboj, čo je práve odzrkadlením distributívnej vlastnosti). Potom nasledujú všeobecné a čiastočné tvrdenia. Najmenej sa dozvedáme z existenčného negatívu - typ „niekedy nie".

Vzťahy medzi súdmi

Vzájomné vzťahy medzi súdmi vzhľadom na ich pravdivostnú hodnotu Aristoteles vyjadril v takzvanom logickom štvoruholníku:

Log5.png

Tmavozelená - hovoríme, že súdy sú navzájom protivné, keď z pravdivosti jedného vyplýva nepravdivosť druhého, ale z nepravdivosti jedného nevyplýva pravdivosť druhého.

Svetlozelená- súdy sú podprotivné, keď pravdivosť jedného nevylučuje pravdivosť druhého a nepravdivosť jedného nevylučuje nepravdivosť druhého.

Červená - súdy sú protirečiace, keď z pravdivosti jedného vyplýva nepravdivosť druhého a z nepravdivosti jedného zase vyplýva pravdivosť druhého.

Čierna - súdy sú podradené, keď z pravdivosti nadradeného súdu vyplýva pravdivosť podradeného, ale z nepravdivosti nadradeného nevyplýva nepravdivosť podradeného.

Príklad:

„Všetky kovy sú bez zápachu". Je súd typu A, teda generický afirmatív. Ak sa preukáže jeho pravdivosť, potom výrok E k nemu protivný: „Žiaden kov nie je bez zápachu," musí byť nepravdivý. Ak však prvý pravdivý nie je, potom pravdivosť protivného výroku nevyplýva. Ale vyplýva pravdivosť výroku protirečivého - O: „Niektoré kovy nie sú bez zápachu".

Definícia

Zvláštnym druhom súdu sú definície. Z hľadiska rozdelenia súdov, ktoré sme práve popísali, sa jedná o všeobecné tvrdenia, ktoré majú tú vlastnosť, že pojmy v nich možno vzájomne vymeniť bez toho, aby sa objavili zmienené ťažkosti. To preto, lebo logický obsah a rozsah pojmov definovaného a definujúceho sa rovnajú. Tomu vravíme ekvivalencia.

Každá definícia je zostrojená určitým spôsobom, ktorý si ukážeme na klasickom príklade. Majme pojem, nazvime ho P, a nech je to človek. Chceme teraz nájsť taký pojem R, ktorý by vyjadroval všetky podstatné znaky pojmu P a súčasne zahŕňal všetky predmety a javy patriace P. Inými slovami definovaný pojem P a definujúci pojem R budú ekvivalentné, ak P bude presne také, aké je R, a všetky P budú zároveň R, a opačne bezo zvyšku.

Prvým krokom je určenie takzvaného najbližšieho rodu (po latinsky hovoríme genus proximum), označme si ho R'. Povedali sme, že definícia je formou všeobecného tvrdenia - prvým krokom je teda výrok v tvare P je podmnožinou R'. Logický obsah najbližšieho rodu musí teda byť užší a jeho logický rozsah zodpovedajúco širší. Dôležité je, aby najbližší rod R' predchádzal definovaný pojem P bezprostredne a nepreskočil ho pri tom. Napríklad:

„Človek je dvojnohý tvor."

Táto definícia pravdaže nie je hotová. Druhým krokom je vymedzenie takzvaného špecifického rozdielu (lat. differentia specifica). Ak sa vrátime k našim predstavám o bublinkách, špecifický rozdiel je pojem, ktorý práve stačí vylúčiť doplnok množiny P ku množine R' v celom jeho rozsahu. Nazvime tento doplnok R1. Povedali sme, že definujúci pojem je rozdielom najbližšieho rodu R' a doplnku R1, vylúčeného špecifickým rozdielom. Platí teda:

R' - R1 = R a zároveň

R = P, pretože pojmy definujúci a definovaný majú byť ekvivalentné vo všetkých podstatných znakoch. Doplňme teda špecifický rozdiel, napríklad:

„Človek je dvojnohý tvor, ktorý nemá perie."

Vidíme, že špecifický rozdiel obohacuje logický obsah definujúceho pojmu, a tým zmenšuje jeho rozsah: množina R má už menej prvkov než mala R'. Zároven sa ukazuje, prečo sme požadovali, aby rod bol skutočne najbližší - pretože ak nie je, pojem špecifického rozdielu nie je dostatočne obsažný, aby stačil vylúčiť doplnok R1 v celom jeho rozsahu.

Našu definíciu sme teda trocha spresnili, ale ešte stále nie je hotová. Definícia ako celok nesmie byť záporná, a jej časť by tiež nemala byť, ak sa tomu dokážeme vyhnúť. Ide totiž o to, že vylučovanie nevlastných znakov pojmu vedie k jeho rozsahu omnoho pomalšie než určovanie znakov, ktoré sú mu vlastné. Špecifický rozdiel teda nie je dosť účinný a musíme ho doplniť:

„Človek je dvojnohý tvor bez peria, s plochými nechtami".

Teraz je naša definícia kompletná. Skúšku správnosti môžeme vykonať preukázaním nepravdivosti protirečenia (viď. logický štvoruholník & axiómy) v takzvanom dôkaze sporom . Ale o tom inokedy.

Michal_Illovsky.jpg

 

Michal Illovský

Step Out of Range

Informácie a perličky zo sveta analytiky a vedy - facebook- klub dispersus

 

Článok bol spracovaný z poznámok zo zborníka prednášok M. S. Strogovič: Logika, Štátne nakladateľstvo v Bratislave, 1951

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Minúta po minúte: Fico na sneme opäť útočil aj na médiá

Vo funkcii podpredsedov skončia Dušan Čaplovič a Pavol Paška.

DOMOV

Odhalila kauzu predsedníctva. Odkiaľ prišla Zuzana Hlávková?

Gymnázium, ktoré navštevovala, jej plánuje vyjadriť verejnú podporu.

EKONOMIKA

RegioJet skracuje svoje vlaky do Košíc, na prevádzku má málo vozňov

Jazdiť bude len so siedmimi vozňami.


Už ste čítali?