Dá sa vyhrať v neférovej súťaži?

Autor: dispersus | 30.4.2011 o 12:33 | (upravené 30.4.2011 o 13:20) Karma článku: 9,28 | Prečítané:  3144x

Súťaž pozostáva z niekoľkých kôl; v každom kole získavate bod buď vy alebo váš súper, vy s pravdepodobnosťou p (menej ako ½, teda neférová šanca) a on s pravdepodobnosťou 1-p. Počet kôl musí byť párny - 2, 4, 6, atď. Na výhru v súťaži musíte získať viac než polovicu bodov. Poznáte p, napr. 0,45. Dostanete však malú výhodu a môžete si stanoviť počet kôl. Koľko kôl si zvolíte, aby ste maximalizovali svoje šance na výhru?

 

Nie je nutné nariekať kvôli tomu, že súťaž je neférová. Označme Vás ako hráča A a súpera ako hráča B. V konkrétnej hre, vaše šance na výhru sú p a súperove q=1-p.

Väčšina ľudí po zistení, že hra je neférová, predpokladá, že ak budeme zvyšovať počet hier (N), bude sa zvyšovať aj rozdiel medzi bodmi hráčov (body hráča A - body hráča B) v prospech hráča B a teda hráč A by mal zvoliť minimum počtu hier, teda 2.

Ak by bolo možné zvoliť nepárny počet hier, vyššie uvedený dôvod by viedol k správnej odpovedi: hráč A má zvoliť najmenší možný počet hier a to 1. Ale ak si musíme zvoliť párny počet hier, objavujú sa tu 2 protichodné efekty pri zvyšovaní počtu hier:

1. zvýhodnenie hráča B;

2. prerozdelenie pravdepodobností v strede binomického rozdelenia (pravdepodobnosť remízy)

 


Binomické rozdelenie (Bernoulliho schéma) vyjadruje početnosť sledovaného javu v N nezávislých pokusoch, pri ktorých je pravdepodobnosť úspechu vždy rovnaká.

obr.JPG

 


 

Zvažujme nachvíľu o férovej hre (p=1/2), kde možnosť na výhru je pre oboch hráčov rovnaká. Čím väčšie N, tým väčšie šance na výhru pre hráča A, pravdepodobnosť remízy sa blíži k nule a maximálna šanca na výhru pre hráča A je ½. Pre N=2,4,6, vypočítame pravdepodobnosti výhry podľa vzorca:

1.JPG

kde N je počet pokusov, x je počet výhier, p je pravdepodobnosť výhry v jednom pokuse a q je pravdepodobnosť prehry v jednom pokuse

2.JPG

 

 

 


Na zistenie optimálnej hodnoty N použije normálnu aproximáciu. Nech X je počet bodov hráča X pri počte hier N=2n. Teda, chceme maximalizovať P(X>= n+1). Nech

3.JPG,

kde ½ je obvyklou spojitou korekciou.

Potom ak Z je premenná zo štandardného normálneho rozdelenia, P(Z>z) sa približuje P(X>n). Čím menšie z, tým väčšia P(Z>z), takže chcem nájsť hodnotu n, ktorá minimalizuje Z pri fixnom p < ½.


 

Pravdepodobnosť výhry v prípade počtu hier 2n je sumou pravdepodobností získania  n+1, n+2,..., 2n bodov, teda suma:

 

4.JPG

V hre pozostávajúce z 2n+2 hier, pravdepodobnosť výhry najmenej n+2 bodov a teda aj celej hry je:

5.JPG

K hre pozostávajúcej z 2n hier sme len pridali 2 ďalšie hry. Ak hráč A vyhral n alebo n+1-krát pri počte hier 2n, jeho status ako víťaz alebo porazený sa nebude odlišovať od hry s počtom hier 2n+2 až na 2 možnosti, P2n+2 bude identické ako P2n. Tie sú:

(1) ak hráč A získal n+1 bodov v 2n hrách a ďalších 2 hrách prehrá, teda znižuje svoju pravdepodobnosť výhry pri počte hier 2n+2 o

6.JPG

alebo

(2) ak vyhral n-krát pri počte hier 2n, vyhrá ďalšie 2, teda zvyšuje svoju pravdepodobnosť o

7.JPG

Ak N=2n je optimálny počet, potom obidve

12.JPG

a

11.JPG

musia platiť. Výsledky v predchádzajúcom odseku znamenajú, že tieto nerovnosti sú ekvivalentné  nasledujúcim nerovnostiam:

8.JPG

9.JPG

Po niekoľkých zjednodušeniach je možné tie nerovnosti vyjadriť ako

 

13.JPG

Tieto nerovnosti možno vyjadriť podmienkou:

 

10.JPG

 

Teda pokiaľ 1/(1-2p) je nepárne číslo, N je jedinečne určený ako najbližšie párne číslo k 1/(1-2p). Ak 1/(1-2p) je nepárne číslo, obe priľahlé párne čísla vyjadrujú rovnakú optimálnu pravdepodobnosť. A sme tak dokázali že ak

 

14.JPG

Teda, pre p=0,45, máme 1/(1-0.9)=10 ako optimálny počet kôl, ktoré by mal hráč A zvoliť.

 

Jana_Rusnakova.jpg

Jana Rusnáková

Step Out of Range

Informácie a perličky zo sveta analytiky a vedy  - facebook- klub dispersus



Literatúra:

Mosteller, F.: Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions. NY, Dover publications, 1965. p. 67

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

SVET

Na koncerte v Manchestri došlo k výbuchu, hlásia 19 obetí

Po koncerte Ariany Grande počuli fanúšikovia výbuch, policajné zdroje hovoria o možnom samovražednom atentáte.

DOMOV

Politický geograf Madleňák: Neviem, či v Lučenci poznajú Luntera či Mičeva

Kotleba ťaží v banskobystrickej župe aj zo slabej informovanosti voličov.

KOMENTÁRE

Voliť proti Kotlebovi nebude bolieť

Rodinkárstvo voličom ĽSNS neprekáža, Klus chce úrad čistiť.


Už ste čítali?